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La metodología de diseño del mecanismo de trabajo satelital de la máquina de desplazamiento positivo.
Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 13685 (2022) Citar este artículo
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En este artículo se describe una metodología de diseño de un mecanismo satelital que consta de dos engranajes no circulares (rotor dentado externo y curvatura dentada interna) y engranajes circulares (satélites). En la metodología presentada se supone que se conoce la línea de paso del rotor, y es necesario designar la línea de paso de curvatura. La metodología presentada se aplica a mecanismos para los cuales el número de jorobas de curvatura es al menos uno mayor que el número de jorobas del rotor. También se presenta la selección del número de engranajes y el número de dientes en el engranaje y el rotor y la curvatura. Se presenta la metodología de cálculo de la posición del centro del satélite y el ángulo de rotación del mismo para conformar los dientes del rotor y la curvatura. El artículo también muestra diferentes tipos de mecanismos satelitales: mecanismos satelitales con diferentes números de jorobas en el rotor y curvatura. También se presentan los parámetros técnicos del mecanismo de la línea de paso del rotor descrito por la función coseno.
En los sistemas de transmisión hidrostática, las máquinas de desplazamiento positivo son bombas y motores hidráulicos. Debido a las altas presiones de operación, las bombas de pistón y los motores de pistón dominan en los sistemas hidrostáticos1,2,3,4,5. También se utilizan otras construcciones de máquinas de desplazamiento positivo, como las de engranajes6,7,8,9,10, gerotor11 o de paletas12. Los últimos años han sido un período de intenso desarrollo de máquinas de desplazamiento positivo, especialmente motores hidráulicos, en los que el mecanismo de trabajo es un conjunto especial de engranajes no circulares. Este artículo está dedicado a estas máquinas.
La idea de engranajes no circulares no es nueva. Se utilizaron engranajes no circulares en muchos dispositivos para proporcionar un movimiento irregular, que es la transferencia (generalmente) de una velocidad de entrada estable a varias velocidades de salida. Un ejemplo de tales dispositivos son los mecanismos de relojería, los dispositivos astronómicos, los sistemas electromecánicos para controlar y accionar potenciómetros no lineales, las máquinas textiles13, las prensas mecánicas14,15,16 y también los juguetes mecánicos. Además, a partir del siglo XVIII, los engranajes no circulares fueron de uso común en máquinas de desplazamiento positivo como bombas y caudalímetros (Fig. 1)17. Tanto las transmisiones de engranajes como las máquinas hidráulicas de desplazamiento positivo (Fig. 1) están construidas con engranajes no circulares con una distancia constante entre los ejes de estas ruedas. Los métodos para diseñar tales transmisiones de engranajes se describen ampliamente en la literatura13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23.
Engranajes no circulares en máquina de desplazamiento positivo17.
Mientras que a fines del siglo XIX se construyó el primer motor hidráulico con engranajes no circulares24,25,26. Este motor se denominó motor satélite (Fig. 2).
El mecanismo de trabajo del primer motor satélite (tipo 3 × 4): 1—rotor, 2—curvatura, 3—satélite24,25,26.
La concepción del mecanismo de trabajo del motor satelital se basa en la cooperación mutua de la rueda no circular dentada externa (llamada rotor) con la rueda no circular dentada interna (llamada curvatura) a través de los engranajes redondos (llamados satélites) entre ellos. Los satélites juegan el papel de particiones móviles entre cámaras. Simultáneamente, el satélite funciona como divisor de entrada y salida cuando la cámara de trabajo pasa de la fase de llenado a la fase de extrusión26.
Por el tipo de mecanismo de satélite debe entenderse su rasgo característico, que es el número nR de jorobas en el rotor y el número nE de jorobas en la curvatura. Así, el tipo de mecanismo se marcará como "nR x nE".
Actualmente se fabrican motores hidráulicos con cuatro tipos de mecanismos satélite (Figs. 2, 3i, 4).
Mecanismos satélite: tipo 4 × 6 (izquierda) y tipo 6 × 8 (derecha): 1—rotor, 2—curvatura, 3—satélite26,28,29,30,31,32,33,34.
El motor hidráulico con mecanismo satélite tipo 4×5. El número de dientes: curvatura zE = 130, rotor zR = 104 y satélite zS = 12, módulo de dientes m = 0,5 mm35,36.
Los mecanismos satélite se utilizan no solo para construir un motor hidráulico, sino también para construir un intensificador de presión y una bomba36,37,38,39.
Según las patentes 30,31,34, la forma del rotor consiste en arcos de círculos con diferentes radios y tangentes entre sí. De manera similar, la forma de la curvatura es la suma de arcos con diferentes radios. Estas construcciones resultaron principalmente de las tecnologías disponibles para su producción. Tanto los dientes del rotor como la curvatura se realizaron mediante tallado diagonal con herramienta Fellows con el uso de utillaje especial de una ranuradora40,41,42. Mientras que los satélites se hicieron utilizando el método de fresado. Por lo tanto, al diseñar un mecanismo de satélite, también se deben tener en cuenta las herramientas disponibles (número de dientes de cincel, su diámetro, etc.). Además, había que evitar el fenómeno de la interferencia de los dientes en el mecanismo43. Por lo tanto, Kujawski in43 formó el rotor del mecanismo tipo 4 × 6 por los arcos de círculos conectados por secciones rectas y la construcción de la curvatura consiste únicamente en arcos de círculos. Kujawski fue el primero en presentar las pautas y conceptos básicos para diseñar los mecanismos satelitales43.
En el trabajo 26 se presenta un rotor de cuatro jorobas compuesto por arcos tangentes entre sí (Fig. 5). Dowel Li et al. También se desarrolló una metodología de diseño del mecanismo satelital tipo 4×6 basada en las curvas de arco circular del rotor y la curvatura44.
Rotor (cuatro jorobas) como suma de arcos26.
En los mecanismos tipo 3×4, 4×6 y 6×8 la forma del rotor consiste en arcos de círculos con diferentes radios y tangentes entre sí. Se mostró en26 que en estos mecanismos hay cambios desfavorablemente grandes en la aceleración del satélite en el momento de la transición de la parte convexa del rotor a la parte cóncava, es decir, en el punto donde se encuentran los arcos de círculos (Fig. 6). La causa inmediata de esto es un cambio de salto en el valor del radio en el punto de tangencia de los arcos del círculo. Así, en un mecanismo operativo, especialmente a alta velocidad de rotación, habrá una gran pérdida mecánica que contribuirá al desgaste acelerado de los dientes. La figura 7 muestra que el desgaste se produce no solo en los puntos de contacto de los arcos sino también en la convexidad (sobre la joroba) del rotor. La razón de esto es el pequeño radio de esta joroba45.
La característica de la aceleración angular del satélite en mecanismo tipo 4 × 6 (a la velocidad angular del rotor ω = 10 rad/s)26.
Desgaste específico de los dientes en las jorobas del rotor. Líquido de trabajo: emulsión HFA-E. Tiempo de funcionamiento del mecanismo desconocido26,45.
Actualmente es posible fabricar los elementos dentados utilizando el mecanizado por electroerosión por hilo (el llamado método WEDM). Este método ya se utiliza para fabricar mecanismos de satélites muy conocidos, especialmente del tipo 4×6, cuyas estructuras fueron diseñadas para ser realizadas mediante cincelado44,47,48. Así, el WEDM permite fabricar mecanismos de satélite con diferentes rotores y formas de curvatura. Por ejemplo, el rotor del mecanismo tipo 4×5 (Fig. 4) tiene forma circular-sinusoidal35. El radio rR de la línea de paso del rotor fue descrito por la ecuación 35:
donde rRmin y rRmax—respectivamente: radio mínimo y máximo del rotor, nR—el número de jorobas del rotor, αR—ángulo (Fig. 13).
Para el mecanismo que se muestra en la Fig. 4 es: rRmin = 22,552 mm y rRmax = 27,524 mm35.
Actualmente se proponen los próximos conceptos de mecanismo satelital. Osiecki propone un mecanismo satélite tipo 2 × 4 con la forma elíptica del rotor (dos jorobas) y con curvatura de cuatro jorobas45,46. Sin embargo, Osiecki no reveló la metodología de diseño de la curvatura y la metodología de selección del número de dientes en los elementos del mecanismo (rotor, curvatura y satélite). En la literatura también se conocen los mecanismos satélite tipo 2×2 y 2×3 (Fig. 8)49,50,51,52,53,54,55,56.
Mecanismos de satélite: tipo 2 × 2 (izquierda), tipo 2 × 3 (centro) y tipo 2 × 4 (derecha), 1—rotor, 2—satélite, 3—curvatura49,50,51,52,53,54,55 ,56.
Volkov propone en absoluto diseñar mecanismos satelitales, como se muestra en la Fig. 8, especificando, primero, la trayectoria del centro del satélite asociado con el rotor y con la curvatura. En coordenadas polares la distancia LSR del centro del satélite asociado al rotor desde el origen del sistema de coordenadas es 49,50,51,52:
y la distancia LSE del centro del satélite asociado a la curvatura desde el origen del sistema de coordenadas es 49,50,51,52:
donde f(…)—función cíclica, kt—el coeficiente que caracteriza la no circularidad de las trayectorias, LC—el radio del círculo al que ambas trayectorias degeneran cuando k = 0, αSR y αSE—ángulos polares asociados al rotor y curvatura respectivamente.
A continuación, las curvas de rotor y curvatura se calculan como equidistancias de las trayectorias (2) y (3) mencionadas anteriormente, asumiendo el diámetro del satélite y el número de dientes en el satélite, el rotor y la curvatura49,50,51,52.
Zhang et al.57 y Wang et al.39 proponen el nuevo mecanismo de satélite tipo 4 × 6 con la forma de elipse de alto orden del rotor. La curva de paso del rotor se describe en coordenadas polares como:
donde rR: la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto en la curva de paso del rotor, ke: la excentricidad de la elipse, A: el radio del eje largo de la elipse, αR: el ángulo polar de la curva de paso del rotor .
Zhang también propone describir la línea de paso del rotor como57:
donde rc—el radio del círculo básico, Ah—la amplitud de la función de cocina, B—coeficiente.
Según Zhang, Wang en absoluto, la ecuación que describe la curva de tono de curvatura en coordenadas polares es 39,57:
donde rE: la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto en la curva de paso de curvatura, rS: el radio de la curva de paso de satélite, αE: el ángulo polar de la curva de paso de curvatura.
Zhang en absoluto indican que con una selección inadecuada de parámetros, la curvatura se caracteriza por el autoentrelazado de la línea de paso (Fig. 9) o por el socavado de los dientes (Fig. 10).
El fenómeno del autoentrelazamiento de la línea de paso de curvatura57.
El fenómeno de socavar los dientes de curvatura57.
Además, Zhang indica que, al seleccionar los parámetros de la curva de paso, es necesario dibujar el perfil del diente de cada engranaje al mismo tiempo para juzgar su factibilidad57. Es un cierto inconveniente. El siguiente problema a resolver es determinar cómo seleccionar los coeficientes Ah y B en la Ec. (5) en la solución del problema de socavación de la curvatura para que el número de dientes satélite zS sea lo suficientemente pequeño57.
En los métodos conocidos de diseño de un mecanismo satélite descritos anteriormente, también se pueden ver algunas desventajas relacionadas con la selección de los parámetros del rotor y las líneas de paso de curvatura, así como la selección del número de dientes y su módulo. Por lo tanto, a continuación se proponen dos nuevos métodos para diseñar cualquier tipo de mecanismo satelital para nE > nR. El primer método permite determinar los parámetros del mecanismo satelital para la solución perfecta y el segundo método permite la corrección de los dientes.
En el método de diseño de un mecanismo de satélite se supone que el satélite desempeña el papel de un cincel. Es decir, en un programa de computadora, el satélite cincela los engranajes del rotor y la curvatura. Por lo tanto, las relaciones matemáticas que describen la posición del centro del satélite en el sistema de coordenadas X–Y y el ángulo de rotación del satélite correspondiente también se presentan a continuación.
Se supone que para cada radio rs del círculo de paso del satélite y para cada línea de paso del rotor existe una línea de paso de curvatura correspondiente a ellos, que cumple las condiciones de perfecta cooperación. Estas condiciones son las siguientes43:
en cada posición mutua de rotor y curvatura, obtenida como resultado de la rotación de uno de ellos alrededor del otro, los círculos de paso de todos los satélites deben ser tangentes a las líneas de paso del rotor y la curvatura;
los círculos de cabeceo de todos los satélites deben cabecear sin deslizarse sobre las líneas de cabeceo del rotor y la curvatura;
en toda la longitud de la línea de paso del rotor y en toda la longitud de la línea de paso de la curvatura deben existir jorobas que hagan posible el paso del círculo de paso del satélite en el lado externo de la línea de paso del rotor y en el lado interno de la línea de paso de la curvatura;
los rotores y las líneas de paso de la curvatura deben ser curvas que cambian cíclicamente y no deben superponerse con el desplazamiento rotacional mutuo;
los centros S de los satélites deben estar situados en el punto de intersección de la equidistante eR de la línea de paso del rotor con la equidistante eE de la línea de paso de la curvatura (equidistancia son las trayectorias de los centros de los satélites, que surgen como resultado del paso del satélite sobre las líneas de paso del rotor y la curvatura) (Fig. 11);
Las relaciones geométricas básicas en el mecanismo de los satélites.
el punto R de contacto del satélite con el rotor y el punto E de contacto del satélite con la curvatura se encuentran en una línea recta que pasa por el centro de rotación del rotor y la curvatura (Fig. 11);
si las curvas del rotor están entre los puntos R1 y R2 y las curvas de curvatura están entre los puntos E1 y E2 (Fig. 11) y también las tangentes a estas curvas son perpendiculares a los radios principales rR (rotor) y rE (curvatura) entonces la longitud LRc de la curva básica del rotor es igual a la longitud LEc de la curva básica de curvatura:
el ángulo central βR que cubre la mitad del ciclo de la curva de paso del rotor (correspondiente a la longitud LRc) es:
donde nR es el número de jorobas del rotor;
el ángulo central βE que cubre la mitad del ciclo de la curva de paso de la curvatura (correspondiente a la longitud LEc) es:
donde nE es el número de jorobas de curvatura;
el número de jorobas de la curvatura es mayor que el número de jorobas del rotor (nE > nR).
Al comenzar el diseño del mecanismo del satélite, el primer paso es tomar el número de jorobas nR en el rotor y el número de jorobas nE en la curvatura. A continuación se debe elegir el radio rc del círculo básico del rotor.
Al diseñar un mecanismo de satélite, debe recordarse que:
el número de dientes zRc en el rango del ángulo del rotor βR (Fig. 16) es:
porque la condición (8) debe cumplirse, entonces:
el número de dientes zR en el rotor es:
el número de dientes zE en la curvatura es:
los números de dientes zR y zE deben ser enteros;
el número de dientes 2zRc en la joroba del rotor (y lo mismo en la joroba de curvatura) debe ser un número entero. De lo contrario, a pesar del cumplimiento de la condición (8) y del número total de dientes de rotor zR y dientes de curvatura zE, el mecanismo satélite no podrá montarse correctamente. Un ejemplo de dicho mecanismo se presenta en la Fig. 12.
Mecanismo de satélite tipo 4 × 6 con parámetros seleccionados incorrectamente: zS = 9, zRc = 4.75, zR = 38, zE = 57. Cada segundo satélite no se puede insertar en el mecanismo.
Tener el número de jorobas nR y nE debe ser secuencialmente:
adoptar el radio rc del círculo básico del rotor;
utilizando el método de iteración se debe buscar la amplitud Ah y el radio del satélite rS hasta que se cumpla la condición (8) con el cumplimiento simultáneo de la condición (54);
usando el método de iteración se debe buscar el número de dientes satélite zS para que los números de dientes zR y zE sean enteros;
para calcular el módulo de dientes m según la siguiente fórmula:
El valor calculado del módulo m tiene que corresponder al valor normalizado;
adoptar el valor normalizado deseado del módulo mst;
todos los parámetros del mecanismo del satélite deben ser escalados por un valor:
La búsqueda de los parámetros del mecanismo del satélite, es decir, Ah, rS y zS para que se cumpla la condición (54) puede resultar imposible. Entonces vale la pena permitir una cierta diferencia δ de las longitudes LRc y LEc, pero no mayor que el valor límite δb, es decir:
El valor δb se justifica, por ejemplo, por el hecho de que, dependiendo de la tecnología de procesamiento, se obtiene una precisión diferente en la fabricación de los elementos del mecanismo del satélite.
Tener el número de jorobas nR y nE debe ser secuencialmente:
adoptar el radio de círculo básico rc del rotor;
adoptar la amplitud Ah;
mediante el método de iteración para buscar el radio del satélite rS hasta que se cumpla la condición (8) mientras se cumple la condición (54) (presentada en el "Método 2");
adoptar el número de dientes zRc (teniendo en cuenta que el número de dientes 2zRc en la joroba del rotor debe ser entero);
calcular el módulo m transformando la fórmula (11);
calcular el número de dientes zS transformando la fórmula (15). El valor obtenido zS no necesita ser un número entero;
si el valor calculado de zS no es un número entero, debe adoptarse el número total de dientes satélite zSst. Se recomienda que:
para aplicar la corrección PO de los dientes. El valor mínimo del coeficiente de corrección es:
para generar los dientes del rotor y la curvatura corregidos, el ángulo γSst de rotación del satélite con respecto a su centro S debe calcularse de acuerdo con la siguiente fórmula:
dónde:
De acuerdo con las condiciones básicas que se muestran en "Condiciones básicas", las líneas de paso del rotor deben ser una curva que cambia cíclicamente. Además, el rotor debe tener un número total de jorobas nR distribuidas uniformemente sobre toda la circunferencia del rotor. Por lo tanto, el radio rR de la línea de paso del rotor se puede definir mediante cualquier función cíclica del tipo rR = f(αR), por ejemplo, las funciones (1), (4), (5) y cualquier otra. En la Fig. 13 se muestra un boceto esquemático de un cuarto de rotor con las dimensiones geométricas básicas.
Los parámetros básicos del rotor.
Las coordenadas (xR,yR) del punto R en la línea de paso del rotor son:
El punto más distante de la línea de paso del rotor desde el centro de rotación de este rotor (es decir, desde el origen del sistema de coordenadas) designa la línea recta k que es el eje de simetría de la joroba del rotor (Fig. 13). Si αS = αR = βR, entonces el centro del satélite S y el punto tangente R del satélite con el rotor se encuentran en la línea recta k (Fig. 16b). El ángulo βR se puede calcular a partir de la fórmula (10).
El círculo de paso del satélite con radio rs debe ser tangente en el punto R a la línea de paso del rotor (Fig. 14).
Las coordenadas del centro del satélite.
Las coordenadas (xS,yS) del centro del satélite S se pueden calcular según las siguientes fórmulas:
donde a(R)p es la pendiente de la recta y(R)p perpendicular a la tangente y(R)t en el punto R (Fig. 14). Si a(R)p < 0 entonces en las fórmulas (25) y (26) es un signo "-" en lugar del signo "±". Pero para a(R)p ≥ 0 es el signo "+".
La posición angular del centro del satélite S (ángulo αS en la Fig. 14) con respecto al eje OY se puede calcular con la siguiente fórmula:
mientras que la distancia LS del centro del satélite S desde el origen del sistema de coordenadas es:
A cada posición del centro del satélite S descrita por las fórmulas (25) y (26) se le asigna el ángulo γS de la rotación del satélite alrededor del centro S (Fig. 15).
Ángulos del satélite.
El ángulo γS de rotación del satélite alrededor de su centro S se puede calcular de acuerdo con la siguiente fórmula:
El número nE de las jorobas de curvatura debe ser mayor que el número nR de las jorobas del rotor (nE > nR). Si el centro del satélite S y el punto de tangencia R del satélite con el rotor se encuentran en la línea recta k, entonces esta línea es el eje de simetría de las jorobas de curvatura. El punto de tangencia E del satélite con la curvatura se encuentra también en la línea k (Fig. 16). Además, para rR = rRmin es rE = rEmin y para rR = rRmax es rE = rEmax.
Ángulos característicos del rotor y la curvatura y los puntos de tangencia del satélite con el rotor y la curvatura.
El número nE de jorobas de curvatura corresponde al ángulo βE, que se puede calcular a partir de la fórmula (10). Las fórmulas (9) y (10) siguen que:
y por lo tanto:
Además, si el satélite se mueve en relación con el rotor el ángulo βR, entonces la curvatura girará el ángulo βEc (Fig. 16):
Si las relaciones (31) y (32) existen entre los ángulos βR, βE y βEc entonces también son verdaderas las siguientes relaciones entre los ángulos αS, αSE y θE (Fig. 17):
Relaciones entre la posición angular αS del satélite y el ángulo θE de rotación de curvatura.
Para determinar la línea de paso de curvatura, se debe calcular el conjunto de coordenadas (xE,yE) del punto E. Estas coordenadas se pueden calcular por dos métodos.
Para cualquier posición del satélite, el punto de tangencia E del satélite con la curvatura se encuentra en la línea recta que pasa por el centro de rotación del rotor y el punto de tangencia R del satélite con el rotor (Fig. 18).
Punto de tangencia E del satélite con la curvatura.
Las coordenadas del punto E son las siguientes:
dónde:
Para cualquier ubicación del centro del satélite S con respecto al rotor corresponde la ubicación del centro SE de este satélite con respecto a la curvatura (Fig. 19). El círculo de paso del satélite con centro en el punto SE es tangente a la línea de paso de la curvatura. El ángulo ρ entre los puntos S y SE se puede calcular a partir de la siguiente fórmula:
Determinación de la línea de paso de curvatura—relaciones angulares.
mientras que las coordenadas (xSE,ySE) del punto SE son:
donde LS se expresa mediante la fórmula (28).
Las coordenadas (xE,yE) del punto E (Fig. 19) se pueden calcular a partir de fórmulas:
dónde:
Si el satélite gira a lo largo de la línea de paso del rotor con el ángulo elemental ∆αS(1), entonces el punto de tangencia inicial E'(1) del satélite con la curvatura gira con el ángulo ∆αE(1) y está en una nueva posición E(1) (figura 20). El círculo de paso del satélite en una nueva posición (punto S(2) según la Fig. 20) es tangente a la línea de paso de curvatura. El centro del satélite es común para la posición del satélite con respecto al rotor y la posición del satélite con respecto a la curvatura, es decir, S(2) = SE(2). El próximo desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(2) (Fig. 21) fuerza la rotación tanto del centro del satélite S(2) como del punto E(1) con el ángulo ∆αE(2). Por lo tanto, la nueva posición de los satélites en relación con la curvatura son SE(1), SE(2) y SE(3). Donde, la posición del centro del satélite SE(3) es la misma que la posición S(2) relativa al rotor, es decir S(3) = SE(3). En los siguientes pasos se hace lo mismo hasta que αS = αR = βR.
Los puntos de tangencia E del satélite con la curvatura.
Las siguientes posiciones del satélite en relación con el rotor y las posiciones del satélite en relación con la curvatura: la determinación de la forma de la línea de paso de la curvatura.
El desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(1) hace que el punto de tangencia R recorra la distancia ∆LR(1) (Fig. 20). La misma distancia debe recorrer el punto de tangencia E, es decir:
Tras el desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(1) el punto E(2) es el nuevo punto de tangencia de este satélite con la curvatura (Fig. 16). El siguiente desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(2) fuerza la rotación de los puntos E(1) y E(2) (es decir, el punto actual y los puntos anteriores) con el ángulo ∆αE(2). En los siguientes pasos se hace lo mismo hasta que αS = αR = βR.
Es más ventajoso determinar la línea de paso de curvatura solo después de determinar el conjunto completo de centros de satélite SE, es decir, después de determinar todos los centros SE con el paso de ∆αE). Este método se ilustra en la Fig. 22. Los círculos con el radio rE y con el centro CE son tangentes a los tres satélites siguientes. Es decir, la circunferencia de radio rE(2) es tangente a los satélites 1, 2 y 3. El punto E(2) es el punto de tangencia de la circunferencia de radio rE(2) con el satélite 2. Análogamente, la círculo de radio rE(3) es tangente a los satélites 2, 3 y 4 y también el punto E(3) es el punto de tangencia del círculo de radio rE(3) con el satélite 3.
Las posiciones de los satélites en relación con la curvatura: la determinación de la línea de paso de la curvatura.
Las coordenadas (xE(1),yE(1)) del primer punto E(1) de la curvatura (Fig. 22) deben calcularse a partir de las fórmulas (43) y (44). Pero las coordenadas (xE(i),yE(i)) de los siguientes puntos E(i) de la curvatura deben calcularse de acuerdo con el método que se muestra en la Fig. 22. Es decir, las coordenadas (xCE(i),yCE( i)) del centro del círculo con el radio rE(i) (con el número (i)) se puede calcular a partir de fórmulas:
Pero las coordenadas (xE(i),yE(i)) del punto de curvatura E(i) son:
dónde:
Y debe cumplirse la siguiente condición:
Entonces no hay autoentrelazado de la línea de paso de curvatura como en la Fig. 9.
Las fórmulas matemáticas presentadas anteriormente permiten calcular las coordenadas del punto E en la línea de paso de curvatura solo en el rango del ángulo βE. Los puntos en la segunda mitad de la joroba de curvatura son una imagen especular de los puntos E con respecto a la línea recta k. Pero la línea de paso total de la curvatura es la matriz circular de la línea de paso de joroba con respecto al origen del sistema de coordenadas.
La longitud LR de la línea de paso del rotor en términos del ángulo αR es la suma de las longitudes elementales ∆LR(i) definidas por dos puntos adyacentes (R(i) y R(i+1)) de la línea de paso del rotor ( Fig. 23), es decir:
Las longitudes elementales del rotor y la curvatura (∆LR(i) y ∆LE(i)).
De manera similar, la longitud LE de la línea de paso de curvatura en el rango del ángulo αE es la suma de las longitudes elementales ∆LE(i) definidas por dos puntos adyacentes (E(i) y E(i+1)) del paso de curvatura línea (Figs. 19, 22, 23), es decir:
Si αR = βR entonces LR = LRc y si αE = βE entonces LE = LEc.
Si el ángulo βE corresponde a la joroba de curvatura, entonces la rotación de la curvatura por el ángulo
permitirá la colocación del siguiente satélite en el mismo lugar (punto S(1)—Fig. 24). Las fórmulas (10) y (34) indican que el ángulo φS entre satélites es:
El ángulo φS entre satélites.
El número nS de satélite en el mecanismo es:
Por el tipo de mecanismo de satélite debe entenderse su futuro característico, es decir, el número nR de las jorobas del rotor y el número nE de las jorobas de curvatura. Por lo tanto, el tipo de mecanismo está marcado como "nR x nE". Si el número nE de las jorobas de curvatura aumenta en relación con el número nR de las jorobas del rotor, entonces aumenta el diámetro del satélite y disminuye la distancia entre los ejes de dos satélites adyacentes. Así, en un mecanismo satelital de cualquier tipo, cada par de satélites adyacentes debe cumplir la siguiente condición:
donde \(\left({\maths{x}}_{\maths{S}}^{(\maths{i})},{\maths{y}}_{\maths{S}}^{( \mathrm{i})}\right)\) y \(\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}^{(\mathrm{i}+1)},{\mathrm{ y}}_{\mathrm{S}}^{(\mathrm{i}+1)}\right)\)—coordenadas de dos satélites adyacentes, hhs—la altura de la cabeza del diente.
Los Tipos de mecanismos de satélite que cumplen la condición (60) se muestran en la Fig. 25. Cabe señalar que, independientemente del tipo de mecanismo, la distancia entre los diámetros de paso del satélite disminuye si la diferencia en el número de rotor y curvatura aumenta la joroba. Por tanto estos mecanismos se caracterizan por un gran número de dientes y grandes dimensiones.
Diversos tipos de mecanismos satelitales.
No es posible construir un mecanismo satelital si:
A continuación se determinaron los parámetros del mecanismo satélite para el radio rR de la curva de paso del rotor expresados como (Fig. 13):
dónde:
Esa es una curva de coseno con una amplitud Ah que se "enrolla" en el círculo con un radio rc. Las coordenadas (xR,yR) del punto R en la línea de paso del rotor son:
La pendiente a(R)pf de la recta y(R)p perpendicular a la tangente y(R)t en el punto R es:
La Tabla 1 resume los parámetros de los mecanismos satelitales seleccionados calculados usando el primer método (ver "El primer método: buscando la solución perfecta"). Considerando que la Tabla 2 resume los parámetros de los mecanismos satelitales seleccionados calculados usando el segundo método (ver "El segundo método"), asumiendo:
número diferente de dientes zRc correspondiente a la longitud LRc de la línea de paso del rotor,
\({\mathrm{y}}_{\mathrm{E}}^{(\mathrm{i}+1)}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{E}}^{\left( \mathrm{i}\right)}\approx 0\) que es para Ah/rc = máx.
En ambos casos los parámetros se determinaron para módulo dental m = 1 mm.
Es posible el desarrollo de mecanismos de satélite con nR > 8, pero es poco probable que estos mecanismos encuentren una aplicación técnica.
Los parámetros del mecanismo satelital tipo 4 × 5, que se muestran en la Tabla 1, después de escalar al módulo m = 0,5 mm corresponden a los parámetros del mecanismo que se muestra en la Fig. 4. Por lo tanto, confirma la corrección de la metodología de diseño y los cálculos realizados.
Para verificar el procedimiento de diseño presentado, se diseñó, fabricó y examinó un mecanismo satelital de muestra. Los proyectos de rotor y curvatura, creados de acuerdo con la metodología descrita anteriormente, se presentan en las Figs. 26 y 27. Pero la Fig. 28 muestra un mecanismo satélite tipo 4×6 fabricado en metal por WEDM.
Rotor, curvatura y mecanismo satélite completo tipo 4 × 6 (ángulo de presión 20°, zS = 10, zRc = 5,5, zR = 44, zE = 66).
Rotor, curvatura y mecanismo satélite completo tipo 4 × 6 (ángulo de presión 30°, zS = 8, zRc = 4,5, zR = 36, zE = 54).
Mecanismo satélite tipo 4×6: fabricado en metal por WEDM (zS = 10, zRc = 5,5, zR = 44, zE = 66).
Se revisó el mecanismo del satélite para una rotación suave.
Este artículo presenta el método de diseño de un mecanismo satelital basado en la función adoptada de la línea de paso del rotor. Se describe la secuencia de los procedimientos para seleccionar los parámetros del mecanismo del satélite. También se presentan todos los tipos técnicamente posibles de mecanismos satelitales. Estos mecanismos se calcularon asumiendo la función sinusoidal para determinar la forma de la línea de paso del rotor. Desde el punto de vista de la construcción de máquinas hidráulicas de desplazamiento, se justifica el uso de un rotor con forma circular-sinusoidal.
Tanto la forma de los dientes del rotor como la curvatura de los dientes están determinadas por la forma de los dientes satélite. El satélite es un cortador moldeador de engranajes. De esta forma se eliminó la interferencia de los dientes. Esta es una ventaja indudable del método presentado. Además, el método de diseño presentado permite evitar la autointersección de la línea de paso de la curvatura y socavar los dientes de la curvatura. Es posible aplicar una corrección de dientes y crear un mecanismo satélite incluso con un número muy pequeño de dientes satélite (por ejemplo, zS = 8).
La verificación práctica mostró que el uso del método de diseño presentado tiene buenos resultados. En el mecanismo fabricado, no se observaron problemas con el engrane de los engranajes: el mecanismo funcionó sin problemas, sin atascarse.
Los resultados presentados en este trabajo pueden constituir fundamentos para futuras investigaciones de otras propiedades particulares de diferentes tipos de mecanismos satelitales, tales como:
el volumen de la cámara de trabajo en función del ángulo de rotación del rotor o curvatura. La cámara de trabajo debe entenderse como un volumen formado por dos satélites adyacentes, rotor y curvatura;
desplazamiento geométrico de una máquina hidráulica con diferentes tipos de mecanismos satélite;
características teóricas de par y caudal en un mecanismo y, por lo tanto, una irregularidad de caudal y par también;
cinemática y dinámica de satélites;
pérdidas mecánicas.
Sin duda, un tema importante será el análisis del impacto de la estructura del diente (p. ej., dientes en espiral, dientes en arco circular, etc.) sobre su resistencia.
No obstante, la metodología de diseño de la curvatura es universal para diferentes formas del rotor. La metodología de diseño del mecanismo satélite, que se presenta a continuación, permite su fabricación mediante el método de mecanizado por descarga eléctrica de alambre.
Los conjuntos de datos generados y/o analizados durante el estudio actual no están disponibles públicamente debido a la protección de patentes de las soluciones presentadas en el artículo (solicitudes de patente P.437749, P.437750 y P.437751), pero están disponibles del autor correspondiente en un plazo razonable. pedido.
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División de Hidráulica y Neumática, Facultad de Ingeniería Mecánica y Tecnología Naval, Universidad Tecnológica de Gdansk, ul. Gabriela Narutowicza 11/12, 80-233, Gdansk, Polonia
Pawel Sliwinski
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Recibido: 22 Abril 2022
Aceptado: 04 agosto 2022
Publicado: 11 agosto 2022
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-18093-z
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